Albert Einstein jednou řekl:  „Zatímco vědomosti definují vše, co v současné době známe a čemu rozumíme, představivost ukazuje i na to, co bychom ještě mohli objevit a vytvořit nového. Představivost je důležitější než znalosti.“ 

 

Einstein se dotýká nekonečnosti v našich životech. Nekonečná představivost a fantazie se jeví jako nejdůležitější předpoklad umění i vědy, představivost a fantazie jsou vskutku nekonečné! Zní to neobvykle našim uším: NEKONEČNO je přítomné v našich všedních dnech, je to běžná věc, je s námi v životě každého z nás. Jak často na to zapomínáme!

 

Umění je oknem do nebe, umění je základem vší lidské kultury. Umění je kořenem pokojného soužití lidí v míru. Škoda, že umělecká tvořivost zřejmě není dána každému člověku, není propojena s dušemi všech lidí. Ještě snad všechny děti mají své snění, svou nekonečnou představivost a fantazii, svou kreativitu, ale my, lidé dospělí, už na tyto schopnosti často zapomínáme. A proto si neumíme hrát tak jako děti... Tady zbývá spousta práce pro skladatele, malíře, spisovatele, aby duše všech nasytili a propojili krásou – propojili duše mezi sebou navzájem i s nebem.

 

Při studiu na Janáčkově akademii múzických umění jsem si vytvořil vlastní metodu modálních intervalových řad. Nové intervalové řady otevírají široké možnosti a mohou být velkým obohacením skladatelské práce. Tu metodu chci právě dnes předat dál.

 

V historii se obvykle nové myšlenky zveřejňovaly různými „manifesty“, například v roce 1895 sestavili spisovatelé Sova, Březina, Šalda, Machar, Mrštík a další  „Manifest česká moderna“, v roce 1909 vydal v Itálii Marinetti „Futuristický manifest“, v roce 1923 ve Francii André Breton vydal „Manifest surrealismu“ a 1924 sepsali Češi Seifert, Teige, Vančura a další spisovatelé „Manifest poetismu“. To bylo právě před sto lety.   

Tak dnes, k tomuto výročí, předkládám svůj „Manifest nových intervalových řad“.

 

Názvosloví

 

Nejprve vysvětlím používané názvosloví, aby nedocházelo později k nepochopení. Je především nutné rozlišovat, kolik různých intervalů obsahuje daná řada.

Mohou být řady JEDNOČLENNÉ, jednočlenná je řada, která obsahuje pouze jeden typ intervalu. Například určitá řada obsahuje pouze půltóny nebo zase jiná řada pouze celé tóny, další řada jenom malé tercie a podobně. Takové řady ale nejsou příliš zajímavé pro naši práci a proto se s nimi dál nezabývám.

Řady DVOJČLENNÉ  obsahují dva různé druhy intervalů, např. celé tóny a čisté kvarty a podobně.

Řady TŘÍČLENNÉ  obsahují potom tři různé druhy intervalů,

řady ČTYŘČLENNÉ  obsahují čtyři různé druhy intervalů.

Trvám na tom, že každá základní řada v systému musí mít přesně rozsah oktávy, tedy 12 půltónů, jako jsme na to zvyklí u běžných stupnic.  Z toho potom vyplývá, že více než čtyři různé druhy intervalů se už do rozsahu oktávy nevejdou.

Dávám přednost melodickému vedení hlasů, a proto uvažuji o melodických intervalech, tedy půltón, celý tón, malá tercie, velká tercie, maximálně čistá kvarta. O větších intervalech, ze kterých by se sestavovaly intervalové řady, už neuvažuji, ačkoli teoreticky by to také bylo možné. 

 

 

 

 

 

V pravé části obrázku jsou uvedeny možnosti práce s intervalovou řadou. Mohou vznikat zejména VARIACE řady, tím, že změníme pořadí intervalů. Pokud naopak pořadí intervalů zachováme, ale začneme řadu od druhého, třetího nebo dalšího tónu, nazývá se to ROTACE.

Můžeme také při zpracování řady některé tóny vynechat, tomu se pak říká SELEKCE neboli REDUKCE řady. Každou řadu samozřejmě lze libovolně TRANSPONOVAT nebo používat zrcadlovou INVERZI a RAČÍ POSTUP.

Práce s intervalovými řadami se někdy nazývá modální kompoziční technika. Oba pojmy je třeba mít na paměti a považuji je za rovnocenné. Intervalovými řadami se podrobně zabýval také muzikolog a organizátor hudebního života Eduard Herzog. V roce 1964, patrně jako první na světě vydal „ Úplný rejstřík dvanáctitónových všeintervalových řad“. (*pozn.1)

Jeho systém je však jiný než ten, o kterém píši zde. Opomíjí totiž subjektivní vyznění každé jednotlivé řady, její zvukovou barevnost a „afekt“, „náladu“, která podle mého přesvědčení je s každou řadou neoddělitelně spojena. To je pro mě velmi důležité.  (*pozn. 2)

 

Ve svém systému intervalových řad používám značení intervalů podle metodiky prof. Aloise Piňose (1925-2008), skladatele a profesora na JAMU v Brně, který je publikoval v monografii „Tónové skupiny“ (Praha 1971). Číslice značí počet půltónů v daném intervalu. Číselné značení intervalů tedy dopadá jinak, než jsme zvyklí:

čistá prima by byla teoreticky 0,

půltón je číslo 1,

celý tón 2,

malá tercie 3,

velká tercie (nebo také zmenšená kvarta) je 4,

čistá kvarta 5,

zvětšená kvarta 6 a tak dále. (*pozn. 3)

 

 

Variace intervalových řad

 

Obyčejná mollová stupnice aiolská má 5 celých tónů a 2 půltóny. Zkusme tyto intervaly libovolně přeházet, tak vzniknou řady a příslušné tóniny zcela nové a neobvykle znějící.

Hned si to ukážeme. Změníme libovolně pořadí intervalů v mollové sedmitónové stupnici. Zde máme několik takových variací. 

 

 

 

Stále je to těch 5 celých tónů a 2 půltóny v různém pořadí (různých variacích).  Nabízí se tedy otázka, kolik takových variací ze základní řady můžeme vlastně vytvořit? V příkladu vidíme církevní stupnice, jsou vlastně rotací základní aiolské řady, protože intervaly zůstávají ve stejném pořadí. Ale pak bychom mohli ještě intervaly vzájemně přehazovat.

Kolik variací celkem můžeme vytvořit, to nám přesně řekne matematika, vlastně počet pravděpodobnosti.

 

Toto je vzorec pro výpočet variací intervalové řady. V je variace, n je počet všech intervalů v základní řadě, protože chceme přeskupovat intervaly, v tomto případě máme v řadě 7 intervalů. S jsou skupiny intervalů, které se opakují, skupina udává počet opakujících se stejných intervalů. V našem případě máme skupinu celých tónů a skupinu půltónů. Vykřičník je matematická funkce faktoriál, což je součin všech kladných čísel menších nebo rovných zadanému číslu n.

 

 

 

A zde je výpočet:

n je 7, počet celých tónů S je 5, počet půltónů 2.

7! = 5040,  5! = 120, 2! = 2.

 

Když to vypočítáme, vyjde nám výsledek 21.

Z aiolské základní řady může vzniknout 21 nových intervalových řad jako variace. Některé takové řady jsou známé církevní tóniny, ty jsou v počtu už zahrnuté. Ale těch je jenom 6 z 21 možných. Kde jsou ty ostatní? Právě tady se skladatelům otevírá veliký prostor svobody, mohou se vydat do takových krajin, které ještě dosud nikdo neprobádal. A to máme zatím jenom sedmitónové řady z celých tónů a půltónů, to je teprve začátek!

 

 

Dvojčlenné intervalové řady

 

Hledejme tedy všechny dvojčlenné řady. Sestavit lze celkem 5 základnách řad z celých tónů a půltónů. Ale zajímavější jsou  řady s většími intervaly – s tercií, s kvartou.

Tak tedy existují 3 řady z půltónů a malých tercií, 2 řady z půltónů a velkých tercií, a 2 řady z půltónů a čistých kvart; dále také 1 řadu z celých tónů a malých tercií, 2 řady z celých tónů a velkých tercií a nakonec 1 řadu z celého tónu a čisté kvarty. Ověřil jsem, že jiné možnosti  pak už nejsou, pokud se intervaly mají vejít do celkového rozsahu oktávy.

 

Tak tedy existuje 16 různých dvojčlenných řad, z nich každá může mít mnoho variací. Na obrázku jsou příklady některých takových zajímavých řad.

Všechny dvojčlenné řady tohoto typu nohou mít dohromady 351 různých variací, tedy to znamená 351 nových tónin.  To je obrovské množství a velká příležitost pro vznik hudby nové a neobvykle znějící.

 

 

Tříčlenné a čtyřčlenné intervalové řady

 

Pokud mám v řadě tři různé intervaly, nazývám řadu „tříčlennou“.

 

 

 

S malou tercií sestavíme 6 tříčlenných řad, s velkou tercií 8 řad, s čistou kvartou 8 řad.

Základních tříčlenných řad je tedy celkem 23 a mohou se přeskupit v 1.174  variacích.

Čtyřčlenné řady jsou poslední z možností, do rozsahu oktávy se už totiž víc různých intervalů nevejde. Máme celkem 4 čtyřčlenné řady, a z nich může vzniknout 264 variací.

 

Intervalové řady v praktické hudební kompozici

 

Co s takovým množstvím řad a tónin může skladatel dělat? Je třeba provést z nich výběr. Doporučuji každému vybrat si takovou řadu, která přináší pro něho nejzajímavější barevnost a strukturu. Případně je možné hledat mezi řadami určitou „náladu“, citový náboj, atmosféru, kterou chceme ve své skladbě navodit. (*pozn. 4)

Rád prozradím, jaké netradiční intervalové řady jsem si vybral pro své skladby a jak jsem se s nimi vypořádal. 

 

Například v skladbě „Rozpravy pro sólový klarinet“ jsem použil řadu, která se podobá poněkud frygické tónině, ale oproti ní má zvýšený 6. stupeň.

 

Ve své skladbě „Čisté nebe“ jsem v mezihře použil dosti krkolomnou řadu složenou z půltónů a čistých kvart. Číselné vyjádření intervalů (1-5-1-5) jsem převedl i do rytmické složky. V příkladu vidíte zápis melodické linky v rytmu 1:5:1:5   

 

 

V ukázce ze třetí věty mého Smyčcového kvartetu najdete téma založené na tříčlenné řadě (3-1-2-1-2-1) a také jeho inverzi.

 

V sonátě „Vertikály pro sólové housle“ je první věta vystavěna z tříčlenné intervalové řady o šesti tónech: a, c, d es, f, gis (3-2-1-2-3-1). 

 

Pomalá věta z Koncertu pro housle a velký orchestr je vlastně smuteční pochod. Je koncipována jako vzpomínka na zemřelou příbuznou. Náladu smutečního pochodu pomohla vytvořit neobvyklá tříčlenná řada o 7 tónech: e, f, fis, h, c, d, dis  (1-1-5-1-2-1-1). 

 

V triu „Vinice Šalomounova“ je zpracována tříčlenná intervalová řada o sedmi tónech (3-1-3-1-1-1-2), ta se ve druhé větě uplatní v rotaci a současně v transpozici o kvintu. Ve vícevětých skladbách, pokud chceme pro celý cyklus užít jen jednu základní řadu, bývá vhodné použít v dalších větách transpozici. 

 

V klavírní svitě „Krajina s duhou“ je každá věta zpracována jinou kompoziční technikou. Dvě věty jsou psané na základě intervalových řad, dvě jsou bitonální a jedna dodekafonická. Poslední věta „Fuga“ (Allegro non troppo) vychází z krátké řady, má pouze čtyři tóny, ale přesto obsahuje také čtyři různé intervaly. Je to tedy čtyřčlenná tónová řada a byla vybrána tak, aby z ní vzniklo výrazné téma pro fugu. Číselné hodnoty intervalů (4-1-5-2) jsou základem i pro rytmus 4:1:5:2.

 

Duchovní píseň Modlitba ke svatému Antonínu vychází vlastně ze dvouřad. V první části píseň je napsaná na základě tříčlenné intervalové řady (1-1-1-3-1-2-3), ale refrén je v prosté durové tónině. Melodická a harmonická struktura se v refrénu písně radostně rozjasní.

 

Polka z orchestrální svity Ortodoxie vznikla nejprve v běžné durové tónině, a teprve ve druhém kroku jsem na hudbu aplikoval tříčlennou intervalovou řadu o šesti tónech. Zdůrazňuji, že takový postup nelze dělat automaticky, ale pokaždé je třeba přihlížet k tomu, aby aplikovaná řada byla pro skladbu přínosem. Použitá řada je e, fis, gis, ais, d, dis (2-2-2-4-1-1).

 

 

 

Pravdou je, že interpretace je tím značně ztížena. Hudebníci jsou zvyklí na tradiční stupnice a tóniny. Nejsou připravováni a vycvičeni na hru v neobvyklých intervalových řadách a musejí si někdy obtížně hledat nové postupy a prstoklady.

U nástrojů smyčcových i dechových pak ještě přistupuje nejistota s přesnou intonací. Jsem přesvědčen, že povinností skladatele je v takovém případě prověřit obtížnější pasáže a po dohodě s hráči doporučit vhodný prstoklad. Jako houslista často prstoklady smyčcovým nástrojům do partitury sám doplňuji.

Hudebníci při hraní orchestrální svity Ortodoxie řešili nesnadné prstoklady a bojovali s intonací. Premiéra v Praze 25. října 2022 však dopadla vcelku úspěšně.

 

Závěrem 

 

 

 

Na závěr trochu statistiky. Základních dvojčlenných řad je 16, tříčlenných 23, čtyřčlenné 4.

V našem systému celkem existuje 41 základních řad, a z nich může vzniknout 1789 variací. Pro zajímavost: máme 6 základních řad o sedmi tónech, tedy těch nejpodobnějších obvyklým stupnicím. Jenom z nich lze vytvořit 455 variací.

 

Intervalové řady jako metoda přísného tónového výběru mají řadu výhod. Jednak vytváříme tóniny, které ještě nikdo nikdy neslyšel. Dávají prostor pro svobodnou kreativitu, máme k dispozici stovky nových tónin. Jejich originalita často je sama o sobě inspirací pro skladatele k novým nápadům a postupům. Všechny intervalové řady lze uspořádat do jednoduchého a logického systému. A navíc intervaly v řadě lze zapisovat číselně a čísla pak převádět do rytmických struktur.

Dnes tedy vyzývám: skladatelé, zkoumejte nový systém intervalových řad, nechte se okouzlovat novými melodiemi a harmoniemi!

 

Malíř Bohumil Kubišta kdysi řekl:  „Krása má přísné matematické zákony.“ Také barokní architekt Santini navrhoval své stavby podle úžasných matematických vzorců, dodnes nás tato krása fascinuje. Matematika zjevně přináší do umění řád, který je krásný.

Svět intervalových řad není uzavřený, ale stále můžeme nacházet nové kombinace. Stovky nových řad. Variace života se nikdy nevyčerpají. Představivost je důležitější než vědomosti.

 

Zkoušejme tedy nové intervalové řady, vymýšlejme hudbu novou, neobvyklou, krásnou.

„Čím víc lásky dáváte, tím víc lásky se vám vrátí. Ale nezapomeňte, že bez Boha to nejde.“ (Antoine de Saint-Exupéry)  

 

 V Kroměříži dne 26. 6. 2024

 

 

Příloha:

 

Úplný seznam všech 43 základních intervalových řad

podle Manifestu intervalových řad

Základní řady jsou zapsané vzestupně, tedy od nejmenších intervalů k těm větším.

Pořadí intervalů lze samozřejmě měnit libovolnými variacemi každé základní řady.

 

A) Tónové řady dvojčlenné:

 

1.          intervaly: 1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-2 

2.          intervaly: 1-1-1-1-1-1-1-1-2-2

3.          intervaly: 1-1-1-1-1-1-2-2-2

4.          intervaly: 1-1-1-1-2-2-2-2

5.          intervaly: 1-1-2-2-2-2-2

6.          intervaly: 1-1-1-1-1-1-1-1-1-3

7.          intervaly: 1-1-1-1-1-1-3-3

8.          intervaly: 1-1-1-3-3-3

9.          intervaly: 1-1-1-1-1-1-1-1-4

10.        intervaly: 1-1-1-1-4-4

11.        intervaly: 1-1-1-1-1-1-1-5

12.        intervaly: 1-1-5-5

13.        intervaly: 2-2-2-3-3

14.        intervaly: 2-2-4-4

15.        intervaly: 2-2-2-2-4

16.        intervaly: 2-5-5

 

B) Tónové řady tříčlenné:

 

17.        intervaly: 1-1-1-1-1-1-1-2-3

18.        intervaly: 1-1-1-1-1-2-2-3

19.        intervaly: 1-1-1-2-2-2-3

20.        intervaly: 1-2-2-2-2-3

21.        intervaly: 1-1-2-2-3-3

22.        intervaly: 1-1-1-1-2-3-3

23.        intervaly: 1-2-3-3-3

24.        intervaly: 1-1-1-1-1-1-2-4

25.        intervaly: 1-1-1-2-2-4

26.        intervaly: 1-1-2-2-2-4

27.        intervaly: 1-1-2-4-4

28.        intervaly: 1-1-1-1-1-2-5

29.        intervaly: 1-1-1-2-2-5

30.        intervaly: 1-2-2-2-5

31.        intervaly: 1-1-1-1-1-3-4

32.        intervaly: 1-1-3-3-4

33.        intervaly: 1-3-4-4

34.        intervaly: 1-1-1-1-3-5

35.        intervaly: 1-3-3-5

36.        intervaly: 1-1-1-4-5

37.        intervaly: 2-3-3-4

38.        intervaly: 2-2-3-5

39.        intervaly: 3-4-5

 

C) Tónové řady čtyřčlenné:

 

40.        intervaly: 1-1-1-2-3-4

41.        intervaly: 1-2-2-3-4

42.        intervaly: 1-1-2-3-5

43.        intervaly: 1-2-4-5

 

--konec--

 

 

_________________________________

 

 

poznámky:

 

1. Herzog Eduard, Úplný rejstřík dvanáctitónových všeintervalových řad, in: Nové cesty hudby I. Praha 1964

2. cenné postřehy též: Herzog Eduard, Jan Jiří, Piňos Alois, Vyvážené intervalové řady, in: Nové cesty hudby II. Praha, Bratislava 1970

3. Piňos Alois, Tónové skupiny, Praha 1971

4. o tzv. „afektové teorii hudby“ se hodně uvažovalo v barokní hudbě a je to také součást interpretační praxe dnešních orchestrů tzv. autentické historické interpretace.

 

 

 

 

 

MgA. Jan Vrkoč /CZ/  - composer

Manifest nových tónových řad - vytvořte si a používejte nové tóniny

Manifesto of New tone series - Create and use new tonalities

 

 

Albert Einstein once said: “For knowledge is limited to all we now know and understand, while imagination embraces the entire world, and all there ever will be to know and understand. Imagination is more important than knowledge.” 

 

Einstein touches upon the infinite in our lives. Infinite imagination and fantasy seem to be the most important prerequisite for art and science; imagination and fantasy are truly infinite! It sounds unusual to us: THE INFINITE is present in our daily lives, it is commonplace, it is with us in each of our lives. How often we forget it!

 

Art is the window to heaven; art is the foundation of all human culture. Art is the root of peaceful human coexistence. It’s a pity that artistic creativity is not evidently given to every person; it is not connected with the souls of all people. Perhaps all children still have their dreams, their endless imagination and fantasy, their creativity, but we adults often forget these abilities. And that's why we don’t know how to play like children do... There is plenty of work left in this context for composers, painters and writers in satiating everyone’s souls and connecting them with beauty – in linking souls with each other and with heaven.

 

While studying at the Janáček Academy of Performing Arts, I developed my own method of modal interval sequences. These new interval sequences open up a wide range of possibilities and can greatly enrich the work of the composer. Today I would like to pass this method on to others.

 

In history, new ideas have usually been published in various “manifestos”. For example, in 1895 the writers Sova, Březina, Šalda, Machar, Mrštík and others compiled the “Manifesto of Czech Modernism”; in 1909 Marinetti published the “Futurist Manifesto” in Italy; in 1923 André Breton published the “Manifesto of Surrealism” in France; and in 1924 the Czechs Seifert, Teige, Vančura and other writers wrote the “Czech Poetism Manifesto”. This was exactly one hundred years ago.   

So today, on this anniversary, I present my “Manifesto of New Interval Sequences”.

 

Terminology

 

First I will explain the terminology used here in order to prevent later misunderstandings. First and foremost, it is necessary to distinguish how many different intervals a given sequence contains.

There can be ONE-PART sequences, that is, a sequence that contains only one type of interval.

For example, a certain sequence can contain only semitones, while another contains only whole tones; another sequence contains only minor thirds, and so on. However, such sequences are not very interesting for our work, and therefore I do not intend to further examine them here.

TWO-PART sequences contain two different types of intervals, e.g. whole tones and perfect fourths, etc.

THREE-PART sequences then contain three different types of intervals.

FOUR-PART sequences contain four different types of intervals.

I insist on every basic sequence in the system having an exact octave range, i.e. 12 semitones, as we are accustomed to in conventional scales. It then follows that more than four different kinds of intervals will not fit into the octave’s range.

I give preference to melodic voice leading, and thus I am dealing with melodic intervals, i.e. the semitone, whole tone, minor third, major third, and (at most) perfect fourth. I do not consider larger intervals from which interval sequences could be composed, although theoretically this would also be possible. 

 

 

 

The right section of the figure shows options for using the interval sequence. In particular, VARIATION sequences can be created by changing the order of the intervals. If, on the other hand, we keep the order of the intervals but start the sequence from the second, third or next tone, this is called ROTATION.

We can also omit some tones when processing sequences. This is called sequence SELECTION or REDUCTION. Each sequence can naturally be freely TRANSPOSED, or mirror INVERSION and CRAB CANON can be used.

The use of interval sequences is sometimes called modal compositional technique. Both of these terms should be kept in mind, and I consider them to be equivalent. Musicologist and organizer of musical life Eduard Herzog also dealt with interval sequences in detail. In 1964, he was probably the first in the world to publish “The Complete Index of Twelve-Tone All-Interval Sequences”. (*Note 1)

Nonetheless, his system is different from the one I will discuss here. It neglects the subjective sound of each individual sequence, its sonic timbre and “affect” or “mood”, which I believe is indelibly linked to each sequence. This is very important to me (*Note 2).

 

In my system of interval sequences, I use interval markings according to the methodology of prof. Alois Piňos (1925-2008), a composer and professor at JAMU in Brno, who published them in his monograph “Tone Groups” (Prague 1971). The numbers indicate the number of semitones in a given interval. For this reason, the numerical marking of intervals produces a different result than what we are used to:

The perfect first would theoretically be 0,

the semitone is the number 1,

the whole tone 2,

the minor third 3,

the major third (or also minor fourth) is 4,

the perfect fourth is 5,

the augmented fourth is 6, and so on. (*Note 3)

 

Variations of interval sequences

 

The Aeolian minor scale has 5 whole tones and 2 semitones. By randomly rearranging these intervals, we create sequences and corresponding keys that sound completely new and unusual. We will now demonstrate this by changing the order of the intervals in a minor seven-tone scale at random. Several such variations are shown below. 

 

 

 

This is still 5 whole tones and 2 semitones in various order (different variations). This gives rise to the question: How many such variations from the basic sequences can we actually create? In the example, we see church modes. These are actually a rotation of the basic Aeolian sequence, because the intervals remain in the same order. But, we could still swap the intervals with one another.

Mathematics, i.e. the calculus of probabilities, will tell us exactly how many variations in total we can create.

 

 

 

This is the formula for calculating the variations of an interval sequence. V is variation and n is the number of all intervals in a base sequence, and because we want to regroup the intervals, in this case we have 7 intervals in the sequence. S are the groups of intervals that repeat; the group indicates the number of same repeating intervals. In our case, we have a group of whole tones and a group of semitones. The exclamation point is the mathematical factorial function, which is the product of all positive numbers less than or equal to the specified number n.

 

 

 

Here is the calculation:

n is 7, the number of whole tones S is 5, and the number of semitones is 2.

7! = 5,040, 5! = 120, 2! = 2.

 

When we do the math, we get a result of 21.

21 new interval sequences as variations can be created from the basic Aeolian sequence. Some such sequences are well-known church keys, which are already included in the calculation. But those only make up 6 out of the 21 that are possible. Where are the others? This opens up a great deal of freedom for composers, allowing them to venture into landscapes that still remain unexplored. And so far we’re discussing only seven-tone sequences of whole tones and semitones, and this is just the beginning!

 

 

 

 

 

Two-part interval sequences

 

Let us now look for all two-part sequences. We can build a total of 5 basic sequences from whole tones and semitones. However, sequences with larger intervals are more interesting – those with a third, a fourth.

There are thus 3 sequences of semitones and minor thirds, 2 sequences of semitones and major thirds, and 2 sequences of semitones and perfect fourths; there is also 1 sequence of whole tones and minor thirds, 2 sequences of whole tones and major thirds, and finally 1 sequence of whole tones and a perfect fourth. I have verified that there are then no other options if the intervals are to fit within the overall octave range.

 

Thus, there are 16 different tow-part sequences, each of which can have many variations. The figure shows examples of some of these interesting sequences.

All two-part sequences of this type have a total of 351 different variations, which means 351 new keys. This is a huge number and a great opportunity for new and unusual sounding music.

 

 

Three-part and four-part interval sequences

 

When I have three different intervals in a sequence, I call the sequence a “three-part”.

 

 

 

With a minor third, we can build 6 three-part sequences, 8 sequences with a major third, and 8 sequences with a perfect fourth.

Thus, there is a total of 23 basic three-part sequences, and these can be rearranged into 1,174 variations.

Four-part sequences are the last of the options, as no more various intervals can fit into the octave range. We have a total of 4 four-part sequences, and 264 variations can be created from them.

 

 

Interval sequences in practical music composition

 

What can a composer do with so many sequences and tones? A selection must be made from them. I recommend that each person choose a sequence that seems to them to have the most interesting timbre and structure. Alternatively, one can look among the sequences for a certain “mood”, emotional charge or atmosphere that one would like to evoke in one's composition. (*Note 4)

I’d like to reveal which unconventional interval sequences I’ve chosen for my compositions and how I dealt with them. 

 

For example, in the composition entitled “Discourses for the Solo Clarinet”, I used a sequence that is somewhat similar to the Phrygian key, with the difference that it has a raised 6th degree.

 

In my composition “Clear Skies”, I used a rather intricate sequence of semitones and exact fourths in the interlude. I also translated the numerical expression of the intervals (1-5-1-5) into a rhythmic component. In the example, you can see the notation of the melodic line in the rhythm of 1:5:1:5   

 

 

 

 

In the excerpt from the third movement of my String Quartet, you will find a theme based on the three-part sequence (3-1-2-1-2-1) and also an inversion of it.

 

In the sonata “Verticals for Solo Violins”, the first movement is built from three-part interval sequences of six tones (3-2-1-2-3-1). 

 

The slow movement from the Concerto for Violin and Large Orchestra is actually a funeral march. It is conceived as a remembrance of a deceased relative. The mood of the funeral march was aided by an unusual three-part sequence of 7 tones (1-1-5-1-2-1-1). 

 

In the trio “Solomon's Vineyard”, a three-part interval sequence of seven tones (3-1-3-1-1-1-2) was prepared. It is applied in the second movement in rotation and at the same time in transposition by a fifth. In multi-movement compositions, if we want to use only one basic sequence for the whole cycle, it is often advisable to use transposition in the other movements. 

 

In the piano suite “Landscape with Rainbow”, each movement is created with a different compositional technique. Two movements are written on the basis of interval sequences, two are bitonal and one is dodecaphonic. The last movement, “Fugue” (Allegro non troppo) is based on a short sequence; it has only four tones, yet it also contains four various intervals. It is thus a four-tone sequence and was chosen to produce a distinctive theme for the fugue. The numerical values of the intervals (4-1-5-2) are also the basis for the 4:1:5:2 rhythm.

 

The spiritual song Prayer to Saint Anthony is actually based on two-part sequences. In the first part, the song is written on the basis of three-part interval sequences (1-1-1-3-1-2-3), but the refrain is in a simple major key. The melodic and harmonic structure is joyfully bright in the song's chorus.

 

The polka from the orchestral suite Orthodoxy was first written in a common major key, and only in the second step did I apply a three-part interval sequence of six tones to the music. I would like to emphasize that such a procedure cannot be done automatically; each time it must be taken into account that the applied sequence should be beneficial to the composition. The applied sequence is three-part: 2-2-2-4-1-1.

 

 

 

 

 

It is true that this greatly hampers the performance of the music. Musicians are used to traditional scales and keys. They are not prepared and trained to play in unusual interval sequences and are sometimes hard-pressed to find new techniques and fingerings.

In the case of string and wind instruments, the uncertainty of precise intonation also comes into play. I am convinced that it is the composer's duty in such cases to examine the more difficult passages and, in agreement with the performers, recommend appropriate fingerings. As a violinist, I often add fingerings for string instruments to the score myself.

Musicians struggled with intonation and difficult fingerings while playing the orchestral suite Orthodoxy. However, the premiere in Prague on 25 October 2022 was quite successful.

 

 

Conclusion 

 

 

We will conclude with some statistics. There are 16 basic two-part sequences, 23 three-part sequences, and 4 four-part sequences.

In our system, there are a total of 41 base sequences, and 1,789 variations can be created from these. It is interesting to note that we have six basic sequences of seven tones, i.e. ones that are most similar to the common scales. 455 variations can be created from these alone.

 

Interval sequences as a method of strict tonal selection have a number of advantages. For one, we are creating keys that have never been heard before. They give room for free creativity, and we have hundreds of new keys at our disposal. Their originality is often an inspiration in and of itself for composers while coming up with new ideas and techniques. All interval sequences can be arranged in a simple and logical system. What's more, the intervals in a sequence can be written numerically and the numbers can then be converted into rhythmic structures.

So today I offer up a challenge: Composers, explore the new system of interval sequences, and let these new melodies and harmonies enchant you!

 

The Czech painter Bohumil Kubišta once said: “Beauty has strict mathematical laws.” Baroque architect Santini also designed his buildings according to amazing mathematical formulas, and we are still fascinated by this beauty today. Mathematics obviously brings to art an order that is beautiful.

The world of interval sequences is not a closed one, and we can always find new combinations. Hundreds of new sequences. The variations of life will never be exhausted. Imagination is more important than knowledge.

 

Thus, let's try out new interval sequences; let's invent new, unusual and beautiful music.

“The more love you give, the more love you get back. But remember, you can't do it without God.” (Antoine de Saint-Exupéry)  

 

In Kroměříž, Forfest Czech Republic, 26 June 2024

 

 

 

Addition: 

 

Complete list of 43 basic interval sequences

used in “A manifesto of interval sequences”. 

Changing the order of the intervals in any basic sequence is possibile.

 

A) Two-part basic interval sequences:

 

1.          intervals: 1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-2 

2.          intervals: 1-1-1-1-1-1-1-1-2-2

3.          intervals: 1-1-1-1-1-1-2-2-2

4.          intervals: 1-1-1-1-2-2-2-2

5.          intervals: 1-1-2-2-2-2-2

6.          intervals: 1-1-1-1-1-1-1-1-1-3

7.          intervals: 1-1-1-1-1-1-3-3

8.          intervals: 1-1-1-3-3-3

9.          intervals: 1-1-1-1-1-1-1-1-4

10.        intervals: 1-1-1-1-4-4

11.        intervals: 1-1-1-1-1-1-1-5

12.        intervals: 1-1-5-5

13.        intervals: 2-2-2-3-3

14.        intervals: 2-2-4-4

15.        intervals: 2-2-2-2-4

16.        intervals: 2-5-5

 

B) Three-part basic interval sequences:

 

17.        intervals: 1-1-1-1-1-1-1-2-3

18.        intervals: 1-1-1-1-1-2-2-3

19.        intervals: 1-1-1-2-2-2-3

20.        intervals: 1-2-2-2-2-3

21.        intervals: 1-1-2-2-3-3

22.        intervals: 1-1-1-1-2-3-3

23.        intervals: 1-2-3-3-3

24.        intervals: 1-1-1-1-1-1-2-4

25.        intervals: 1-1-1-2-2-4

26.        intervals: 1-1-2-2-2-4

27.        intervals: 1-1-2-4-4

28.        intervals: 1-1-1-1-1-2-5

29.        intervals: 1-1-1-2-2-5

30.        intervals: 1-2-2-2-5

31.        intervals: 1-1-1-1-1-3-4

32.        intervals: 1-1-3-3-4

33.        intervals: 1-3-4-4

34.        intervals: 1-1-1-1-3-5

35.        intervals: 1-3-3-5

36.        intervals: 1-1-1-4-5

37.        intervals: 2-3-3-4

38.        intervals: 2-2-3-5

39.        intervals: 3-4-5

 

C) Four-part basic interval sequences:

 

40.        intervals: 1-1-1-2-3-4

41.        intervals: 1-2-2-3-4

42.        intervals: 1-1-2-3-5

43.        intervals: 1-2-4-5

 

--The End--

 

 

_________________________________

 

 

Notes:

                                                                                                                                                   

1. Herzog Eduard, A Complete Index of Twelve-Tone All-Interval Sequences, in: Nové cesty hudby I. Prague 1964

2. As valuable insights, see also: Herzog Eduard, Jan Jiří, Piňos Alois, Balanced Interval Sequences, in: Nové cesty hudby II. Prague, Bratislava 1970

3. Piňos Alois, Tónové skupiny (also English edition: “Tone Groups”), Prague 1971

4. The so-called “affect theory of music” was heavily contemplated in Baroque music and is also part of the performance practice of today's orchestras in so-called authentic historical performance.

 

Translation:   Skyland V. Kobylak